social economics

오일러의 정리

  전미분의 또 다른 사용은 오일러의 정리를 증명하고 “총생산물의 완전소진”을 논증하는 것이다. 이것은 요소가격결정에 관한 한계생산성 이론과 정치경제학자들에 의해 오랫동안 논의되어 왔던 “공정한 임금”으로 간주될 수 있는 규범적 사고와 연계되어 있다.

몇 개의 다른 투입요소를 사용하는 기업을 고려해라. 각 투입요소는 총생산에 기여하는 수량이 다를 것이다. ‘공정임금’이 고려될 수 있는 제안은 노동을 포함한 각 투입요소에 그것의 한계생산가치(VMP)를 지불해야 하는 것이다. 이것은 어떤 투입요소 i의 경우, 한계생산물(

)에 최종재가

에 팔린 가격이 곱해진 것으로서 정의된다.

물론 이러한 제한은 규범적인 개념이고 그것에 기초하고 있는 가치판단은 의문시된다. 그러나 여기에서 고려되고 있는 것은 각각의 투입요소에 한계생산물가치를 지불하는 것이 가능하기조차 한 것인지 이다. ‘공정한’원리처럼 보이기차 하더라도 만약 그것이 가능하지 않다면 이것을 하나의 목표로 설정하는 것이 실제적인 사고가 되지는 않을 것이다.

오일러의 정리를 살펴보기 전에, 생산물 완전소진에 관한 그 조건들이 두 개의 투입요소를 가진 콥-더글라스 생산함수를 어떻게 도출할 수 있는지를 설명할 수 있다. 이 예는 또한 생산물가격이 ‘생산물 완전소진’질문과는 연관성이 어떻게 없는지 그리고 그것은 생산함수문제의 속성이라는 것을 또한 보여준다.

 기업이 산출량  Q를 주어진 가격 

에 팔고 있고 ,

여기서

는 상수들이다. 만약 각 투입요소가 그것의 한계생산물가치와 동등한 가격으로 지불되었다면 두 투입요소  K와 L 의 가격은 아래와 같이 될 것이다.

 따라서, 투입요소의 총 지출은 다음과 같은 것이다.

---------(1)

기업의 산출량 판매액으로부터 나온 총수입은

투입물의 총지출은(투입물의 한계생산가치가 지불된) 

일 때 총수입과 동일하게 될 것이다. 따라서

를 지우면

--------(2)

  따라서 ‘생산물 완전소진의 조건’은 생산함수의 물리적 속성에 기초하게 된다. 만약(2)가 유지되면 생산물은 완전소비되는 것이다. 만약 그것이 유지되지 않는다면, 그때는 충분한 수입 또는 잉여가 존재하지 않을 것이다.

콥-더글라스 생산함수 의 경우, 우리가 알고 있는 것은

이들 값을 (2)에 대입하면

 -------(3)

(3)을 유지하기 위해 요구되는 조건은  

이다. 이것은 생산물 완전소진이 규모에 대한 수확불변인 콥-더글라스 생산함수인 경우에 발생한다는 것을 의미한다.

또한 (3)과 (1)로부터 알 수 있는 것은

  (i) 규모에 대한 수확체감과 일  

   때,

그래서 만약 모든 투입요소들이 그들의 VMP를 지불받으면 거기에는 잉여찌꺼기가 남게 될 것이다. 그리고

(ii) 규모에 대한 수확체증과     

  일   때는

그래서 여기에는 각 투입물이 그것의 VMP를 지불할 정도의 충분한 수입이 되지 않을 것이다.

  오일러의 정리는 일반적인 생산함수의 경우에 또한 적용한다.

앞의 예에는 가격이 TR과 TC 공식에서 항상 취소될(지워지게될) 것이라는 것을 보여주었다. 그리고 관심 있어 하는 것은

  ----------(1)

인지 아닌지 이다.

표기법을 사용하면

이 생산함수의 전미분은 아래와 같이 될 것이다.

 ----------(2)

  모든 투입물들이 동일한 비율 로 증가된다는 것을 가정한다. 따라서

                (모든  i에 대해)

그래서 -    

      -------(3)

(3)을 (2)에 대입하면

---------(4)

(4)의 좌변 분모와 분자에  Q를 곱하면

따라서, 생산물소진은 오직

 인 경우에만 유지된다.

  만약 이 결과가 정말로 유지된다면 산출량이 투입물과 동일한 비율로 증가한다는 것을 의미한다.

즉, 규모에 대한 수확 불변이 존재한다.

만약 규모에 대한 수확체감이 존재하면 산출량은 투입물보다 더 적은 비율로 증가한다. 그러므로

따라서        

이것은   

  만약 각 투입물이 그것의 한계생산물가치만큼 지불받는다면 거기에는 약간의 잉여나머지들이 존재하게 될 것이다.

유사하게, 만약 규모에 대한 수확체증이 있다면

그러므로    

그리고 

이것은 각 투입물에 그것의 한계생산물가치만큼 지불하는 총비용이 벌어들인 총수입 이상의 합이 될 것이라는 것을 의미한다. 즉, 이것은 가능하지 않게 될 것이다.

요약해보면, 오일러의 정리는 만약 각 투입요소가 그것의 한계생산물가치만큼 지불받게 되면 투입요소의 총비용은

(i) 총수입과 동일하게 될 것이다.(규모에 대한 수확불변인 경우)

(ii) 총수입보다 더 적게 될 것이다. (규모에 대한 수확체감인 경우)

(iii) 총수입보다 더 커지게 될 것이다.(규모에 대한 수확체증인 경우)

Ex. 3.24

만약 생산함수

를 가지고 운영하는 어떤 기업이, 투입물에 한계생산가치 만큼 지불하는 것이 가능한가?

sol) 만약 각각의 투입요소가 그 VMP 만큼 지불받게 되면 투입요소 K의 가격은 다음과 같이 될 것이다.

여기서 는 최종생산물의 가격이다. 투입요소 L의 경우,

따라서, 투입물의 총비용은

그 생산물을 판매함으로써 얻는 총수입은

따라서,

TC/TR = 19.6/14 = 1.4 

그러므로 총수입은 투입요소에 그것의 한계생산물가치를 지불할 만큼 충분하지 않다. 이 생산함수에 대한 규모에 대한 수확체증이 주어진다면 이것이 ‘오일러의 정리’의 예측으로 판명된다.