레온티에프 투입산출분석1(2개산업모델)

행렬과 그 역에 대한 아주 중요한 응용이 투입-산출 분석이라고 부르는 응용수학의 분야에서 발견되었다. 바실리 레온티에프(1905-1999)는 이러한 새로운 발전의 뒤에서 주요한 영향력을 가진 사람인데 산업화된 국가들의 경제계획에 관한 중요한 영향력을 끼친 공로로 1973년 노벨경제학상을 수상하게 된다. 다른 여러것 들 중에서 미국 경제의 500개 부문이 어떻게 상호영향을 미치는 지에 관한 포괄적인 연구를 수행했다. 물론, 대형 컴퓨터가 이 분석에 중요한 역할을 했다.

 

본 장에서는 이야기는 좀 더 완화된 것이 될 것이다. 사실, 단지 2개 산업으로 구성된 경제로 출발한다. 이들 낮은 수준으로부터 생각과 정의는 좀 더 현실적인 경제를 쉽게 일반화시킬 수 있도록 나아갈 것이다. 투입-산출분석은 한 경제내의 산업들이 최종(외부)수요와 더불어 각기 다른 수요를 만족시킬 정도로 충분한 산출량을 가져다 주는 조건아래에서 균형조건을 만들기 위해 시도한다.각기 다른 부문의 산출고에 대한 내부수요가 그 산업 안에서 주어져 있다면, 문제는 최종(외부)수요의 다양한 수준에 맞을 산출량수준을 결정해야 하는 것이다.

 

■ 2개 산업모델

그 문제를 구체적으로 만들기 위해, 전력회사 E와 상수도 회사 W라는 단지 2개의 산업만을 가진 가설적 경제로 출발해 보자. 두 회사의 산출량은 달러로 측정된다. 전력회사는 전력생산(산출)을 위해 전기와 물(투입) 둘 다 사용하고 상수도 회사는 물(산출)을 생산하기 위해 전기와 물(투입) 둘 다 사용한다. 전력의 각 달러가치에 대한 생산은 $0.30의 가치와 물 $0.10의 가치를 요구로 한다. (1달러가치의 전력을 생산하기 위해서는 전기 $0.30의 비용과 물 $0.10의 비용이 든다)

 

물의 각 달러가치 생산은 $0.20의 전기와 $0.40의 물의 가치를 요구한다. (1달러가치의 물을 생산하기 위해서는 전기0.20의 비용과 물 0.40의 비용이 든다.) 만약 이 경제의 외부부문으로부터 온 최종수요가 ( 전기와 물의 모든 다른 사용자들로부터 온 수요)

이면, 이 최종수요를 맞추기 위해 얼마나 많은 전기와 물을 생산해야만 하는가?

전력회사는 최종수요로 $12(백만)어치의 전기를 생산하고 상수도 회사는 $8(백만)어치의 물을 생산한다고 가정하자. 그러면 그 회사들의 생산과정은 다음과 같이 전기와 물의 생산량을 생산해야 한다.

 

 

(위의 식은 두 산업의 내부수요를 만족시키는 생산량이다. )

단지 $6.8(백만)어치의 전기와 $3.6(백만)어치의 물은 외부부문의 최종수요를 만족시키기 위해 남겨 놓는다. 따라서 두 회사의 내부수요를 맞추고 최종외부수요에 충분한 전기공급을 맞추기 위해서는 두 회사는 최종수요가 요구하는 그 수량보다 조금 더 생산해야만 한다. 실제로 이 둘 회사는 외부부문이 요구하는 수요에다가 그들 자신들의 내부수요를 합한 것을 맞출정도의 양을 정확히 생산해야만 한다. ^[각주:1]

 

기본적인 투입산출문제

  각 산업의 산출에 대해 내부수요가 주어져 있다면, 내부 수요뿐만 아니라 주어진 최종(외부)수요수준도 맞추게 될 다양한 산업에 대한 산출수준을 결정하라.

 

내부수요와 최종수요를 결합하면 다음의 방정식 체계를 낳게 된다.

 

 

기술행렬은 투입-산출분석의 심장과 같다. 기술행렬의 원소들은 다음과 같이 결정된다. ( 왼쪽으로부터 오른쪽으로 그리고 위로 읽는다. )

이제 문제는  X에 대해서 방정식(2)를 푸는 것이다.

 

따라서, 전력회사는 $22(백만)산출을 하여야만 하고 상수도회사는 $17(백만)산출을 해야만 한다. 그래야만 내부와 외부수요 모두를 맞출 수 있다.

  실제로, 방정식(4)는 임의의 최종수요 d1과 d2에 대한 원래 문제를 푸는 것이다. 이것은 방정식(4)가 원래문제에서 언급한 최종수요뿐만 아니라 다양한 다른 계획된 최종수요에 대해서도 빠른 해를 제공하기 때문에 아주 유용하다. 만약 체계(1)을 가우스-조단 소거에 의해 푼다면, 최종수요에 대한 각각의 새로운 집합에 대해 새로 시작해야만 할 것이다.

 

1. 결국 전기 $12(백만)과 물 $8(백만)을 생산하게 되면, 내부수요로 이미 사용되기 때문에, 최종수요를 맞추기에는 모자라기 때문에, 나머지 외부수요를 감당할 생산량을 찾는 것이 문제의 핵심이다. [본문으로]